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Aspetti meta-cognitivi legati all’utilizzo di un micromondo: il caso di Aplusix

1 settembre 2008 | di Laura Maffei e M.Alessandra Mariotti, Dipartimento di Scienze Matematiche ed Informatiche, Università di Siena
Abstract In questo contributo descriviamo e analizziamo i dati provenienti da un intervento di recupero, basato sull’utilizzo del software Aplusix, dedicato a ragazzi con difficoltà in algebra a livello di biennio di scuola secondaria superiore. L’efficacia dell’intervento emerge non solo in termini di una forte diminuzione del numero degli errori commessi dagli alunni coinvolti, ma soprattutto in termini di sviluppo di strategie basate su consapevolezza e autocontrollo delle loro difficoltà.

Introduzione
Le difficoltà che gli allievi incontrano nella manipolazione algebrica sono ben note e la letteratura è ricca di numerosi studi riguardo alle difficoltà legate al calcolo algebrico (Freudenthal, 1983, Tall & Thomas, 1991, Kieran, 1992, Malara & Navarra, 2002, Mariotti & Cerulli, 2003). Naturalmente interventi diversi, mirati al recupero di difficoltà, nascono dalle diverse interpretazioni dei comportamenti (Zan, 2007) che si possono presentare e che segnalano tali difficoltà. In questo intervento non intendiamo discutere il tema della manipolazione simbolica nella sua generalità, ma piuttosto discutere i risultati di una sperimentazione, condotta a livello del biennio della scuola secondaria superiore, che ha avuto come obiettivo didattico il recupero di allievi che mostravano difficoltà specifiche nella manipolazione simbolica. In particolare, intendiamo discutere le potenzialità del micromondo Aplusix (1): un particolare software didattico per l’apprendimento dell’algebra (Nicaud & al. 2006) che abbiamo utilizzato nell’intervento.

Il micromondo Aplusix
Aplusix è un micromondo nel quale l’utente sviluppa i propri calcoli, simulando la manipolazione algebrica che si è soliti eseguire in ambiente carta e penna (Nicaud & al., 2004). Per tale scopo l’artefatto include un editore avanzato di espressioni algebriche e un editore di testo che consente di inserire commenti. Le espressioni algebriche sono rappresentate nella forma abituale e possono essere modificate solo rispettando la struttura delle espressioni algebriche.
La particolarità del software consiste nella sua duplice funzionalità: da un lato, offre agli alunni un ambiente in cui svolgere esercizi di calcolo algebrico, disponendo di un controllo su eventuali errori; dall’altro consente di rivedere in differita, passo passo, la soluzione prodotta attraverso l’attività Osservare/Correggere.
Aplusix, infatti, salva tutte le azioni svolte da chi lo usa in una cartella NomeUtente in cui i vari file sono organizzati per data di accesso al software.
L’ambiente permette due modalità di lavoro: Esercitazione o Test. Qualora Aplusix sia impostato in modalità ‘Esercitazione’, messaggi in codice segnalano la presenza di un errore, senza peraltro mostrare né la sua localizzazione precisa, né la sua correzione (Fig. 1). Inoltre qualora si commetta un errore il software impone il vincolo di non poter procedere qualora non sia stato corretto.

Fig. 1. I tre segni attraverso i quali Aplusix, in modalità ‘Esercitazione’, mostra la correttezza o meno del passaggio:
- un tratto doppio con una croce di colore blu significa ‘incompiuto’;
- un tratto doppio nero significa ‘equivalente’;
- un tratto doppio con una croce di colore rosso significa ‘non equivalente’.

Qualora invece si imposti la modalità ‘Test’ (2), il software non produce alcun segnale di errore: una riga e la successiva risultano essere costantemente collegate da un semplice tratto nero (Fig.2).

Fig. 2. La visualizzazione dello svolgimento di un esercizio in modalità ‘Test’ (cfr.Fig. 1).

all’interno di Aplusix si possono svolgere tipi diversi di attività. L’attività impostata di default consente all’utente di digitare l’esercizio che vuole e risolverlo. inoltre è possibile caricare file di esercizi, preparati dall’insegnante. In tal caso l’insegnante può decidere preventivamente la modalità di esecuzione degli esercizi, vale a dire Esercitazione o Test, oppure lasciare all’allievo di decidere, al momento dell’esecuzione di tali esercizi, la modalità in cui preferisce affrontarli. Nel caso gli esercizi siano risolti in modalità Test, è possibile rivedere e correggere il proprio lavoro attraverso l’attività Osservare/Correggere. Questa attività permette di rivedere, in modalità Esercitazione e passo passo, il lavoro svolto in precedenza in modalità Test. La possibilità di rivedere il proprio operato risulta utile per l’allievo al quale si offre la possibilità di riflettere sui propri comportamenti siano essi corretti o errati. Inoltre, questa attività può risultare utile per l’insegnante, che può osservare il lavoro dei propri alunni.
Poter rivedere passo passo le produzioni degli alunni offre certamente all’insegnante (e al ricercatore) uno strumento inestimabile per un’indagine sui processi risolutivi messi in atto dagli allievi. E’ possibile infatti fare un’analisi accurata dei processi, individuando le incertezze incontrate, gli errori commessi, ecc. Tale strumento risulta, però, estremamente interessante anche dal punto di vista dell’allievo e, nella nostra esperienza, è stata utilizzata in una specifica fase del percorso di recupero. L’uso dell’attività Osservare/Correggere nella revisione degli elaborati presenta notevoli vantaggi rispetto all’uso dell’ambiente carta e penna; infatti sulla carta, pur disponendo della soluzione, si perdono inevitabilmente le tracce di come si è arrivati ad ottenerla: cancellature, frammenti di calcolo mal organizzati sul foglio non sono di solito sufficienti a ricostruire efficacemente i vari passaggi.
Di particolare interesse per l’intervento didattico che descriveremo nel seguito è il comando Riga indipendente attraverso il quale si può editare, sulla stessa schermata una nuova espressione che potrà essere elaborata in modo indipendente dalla precedente. Infatti, attraverso tale comando, è possibile isolare frammenti di calcolo per i quali si sente il bisogno di una elaborazione più accurata, e, nello stesso tempo, si può contare su un ambiente strutturato e controllato nel quale trovare supporto per organizzarli e per portarli a termine.

Un approccio meta-cognitivo all’errore
Nell’affrontare il problema del recupero, ovvero del superamento di difficoltà, un aspetto cruciale riguarda il rapporto tra allievo ed errore. L’errore si manifesta ogniqualvolta un comportamento dell’alunno non risulta essere conforme alle aspettative dell’insegnante. A questo proposito risulta chiarificatrice la distinzione introdotta da Zan (2002a) tra errore e fallimento.
Si parla di errore nel caso di un comportamento dell’alunno non conforme alle aspettative dell’insegnante, ma che non sia avvertito dall’allievo come una propria responsabilità; si parla invece, di fallimento nel momento in cui l’allievo prende coscienza di non aver raggiunto il proprio scopo. È solo in questo secondo caso che sembra divenire possibile un intervento efficace. Con le parole di Zan (Zan, 2002a, p. 94):
“Anche se l’insegnante rileva l’errore dello studente e interviene, spetta allo studente modificare il suo comportamento: ma se l’alunno deve cambiare significativamente il suo comportamento, deve prima di tutto convincersi della necessità di tale cambiamento, che il comportamento mostrato è fallimentare.” (trad. a cura degli autori).
L’abilità dell’insegnante sta dunque nel condurre l’allievo a modificare, in un percorso autonomo, i comportamenti che lo hanno indotto all’errore.
Comunque, una volta presa coscienza dell’errore, l’allievo dovrà confrontarsi con la necessità di reperire risorse per il suo superamento e, di conseguenza, sapere come e dove reperire tali risorse.
“Le abilità metacognitive riguardano la gestione delle risorse (cognitive). Tale gestione si articola in due momenti:
- la consapevolezza delle proprie risorse;
- la regolazione del comportamento in base a tali risorse (cioè l’attivazione di processi di controllo).”(Zan, 2002b, p. 4)
Ecco allora il suggerimento per l’insegnante di organizzare un ambiente didattico che fornisca una guida per sviluppare le due capacità di cui parla Zan: conquista della consapevolezza e possibilità di attivare processi di controllo.
È dunque in questa ottica che sono da interpretate le scelte che hanno guidato il nostro intervento didattico di recupero.
Se è vero che gli allievi ai quali era dedicato il recupero avevano già raggiunto una qualche consapevolezza delle loro difficoltà, quanto meno constatando il ripetuto insuccesso delle proprie prestazioni, è anche vero che nella maggioranza dei casi ne avevano una coscienza vaga, orientata da un sentimento di incontrollabilità piuttosto che da processi di controllo delle proprie risorse.
Abbiamo ipotizzato dunque che attività specifiche all’interno dell’ambiente Aplusix, attraverso la retroazione offerta dal software, permettessero all’allievo da un lato di acquisire consapevolezza dei propri errori, dall’altro di approntare strategie per il superamento di tali errori. L’allievo infatti, per sottostare al vincolo del micromondo, che non permette di proseguire se si è commesso un errore, è obbligato a prenderne coscienza e, in mancanza di supporto immediato dell’insegnante, a farsene carico in prima persona, impegnandosi in tal modo in una ricerca autonoma del superamento della difficoltà incontrata.
Abbiamo cercato di aggiungere al feedback offerto dal software dei suggerimenti che aiutassero gli alunni a uscire dalla situazione di impasse.

Il segnale di errore e i messaggi di aiuto
Innanzitutto, lavorando in modalità ‘Esercitazione’, incontriamo il segnale di errore. Tale segnale, come abbiamo visto consiste sia in un messaggio che in un particolare stato della macchina. Da un lato compaiono le due righe rosse, dall’altro il controllo della macchina impone di fermarsi perché non è possibile passare alla riga successiva. Rispetto all’ambiente carta e penna, nel micromondo l’allievo dispone di un controllo esterno che gli pone il problema dell’errore, seppure in modo generico. La macchina, infatti, si arresta e segnala che il passaggio non è valido, ma non dice dove si è commesso l’errore, né tanto meno quale errore è stato commesso. In ogni caso, si è confrontati con la necessità di conformarsi alle regole del calcolo, in quanto assunte dal micromondo come regole di accettabilità (3). La consapevolezza della difficoltà viene dunque a corrispondere alla consapevolezza che per proseguire ci si deve adeguare alla regole del calcolo: l’allievo può rendersi conto o che non si ricorda la formula richiesta, oppure che non è riuscito ad applicarla correttamente. Fin qui, è abbastanza naturale prevedere che il segnale di errore induca l’allievo ad attivare strategie di controllo.
Basandosi su queste considerazioni è stato messo a punto un intervento didattico mirato, alla cui base sta la specifica elaborazione del messaggio di errore in un messaggio di aiuto, con lo scopo di promuovere processi di controllo.
Qualora gli allievi non riuscissero a superare una situazione di impasse potevano richiedere un aiuto. I suggerimenti forniti agli allievi dal messaggio, consistono nel guidare verso il recupero delle risorse in modo sistematico e dunque indirizzano verso la elaborazione di strategie di controllo specifiche rispetto alle conoscenze necessarie nel calcolo letterale. Un suggerimento fornito nel caso di sviluppi di quadrati e cubi di binomi è stato:
‘L’espressione non è equivalente alla precedente. Suggerimento: ricorda che 1) “a” alla seconda = “a” per “a”; 2) “a” alla terza = “a” per “a” per “a” oppure “a” alla terza = “a” alla seconda per “a” e applica la proprietà distributiva…’;
mentre, nel caso di esercizi riguardanti differenze di quadrati o somma e differenza di cubi, il testo diventato:
‘L’espressione non è equivalente alla precedente. Suggerimento: puoi applicare la proprietà distributiva…’ (4)
Come è facile notare, in questo messaggio si fa esplicito riferimento al significato algebrico della formula richiesta. Dunque si invita l’allievo non tanto a ricordare la formula, ma a ritornare allo sviluppo operativo tramite l’uso della proprietà distributiva. L’obiettivo didattico che inspira il messaggio di aiuto mira al recupero del significato algebrico del calcolo come applicazione di proprietà, e in questo senso offre un suggerimento generale, dirigendo l’attenzione verso le conoscenze disponibili, quando la memoria non viene incontro.
Il messaggio di aiuto non solo riguarda risorse di tipo cognitivo, quali il significato di potenza o la proprietà distributiva, che stabilisce l’equivalenza tra espressioni diverse, ma anche risorse di tipo metacognitivo. Il testo, infatti, tende a ridirigere l’attenzione sul calcolo come trasformazione di una espressione in un’altra equivalente, e non solo come applicazione di formule che si deve mostrare di aver memorizzato.

Le sperimentazioni
A partire dalle ipotesi presentate e nel quadro di riferimento descritto sono state messe a punto sperimentazioni in classe, che hanno interessato classi prime di Liceo Scientifico, a partire dal 2004. Gli interventi hanno avuto inizio con la somministrazione di un test iniziale che è stato ripetuto identico alla fine delle attività. Inoltre, per approfondire il livello delle interpretazioni dei risultati ottenuti alla fine della sperimentazione, sono state condotte interviste individualizzate. L’intervista individualizzata ha avuto un duplice scopo (che caratterizza l’intera sperimentazione): da un lato approfondire l’analisi del funzionamento dello strumento Aplusix rispetto all’acquisizione delle regole del calcolo letterale, dall’altro rilevare eventuali benefici che lo strumento può avere apportato a livello metacognitivo, ovvero in termini di consapevolezza e controllo delle risorse.
Il test passato all’inizio ha costituito la base sulla quale è stato pianificato l’intervento didattico. Tale test, infatti, ha messo a fuoco errori e atteggiamenti ricorrenti, sui quali ci si è impegnati ad intervenire. Ripetuto poi identico alla fine, il test è stato usato come elemento di confronto per giudicare l’efficacia didattica dell’intervento di recupero. (5)
L’insegnante ha partecipato a tutte le sessioni della sperimentazione con la ‘consegna’ da parte dei ricercatori, di non dare alcun ‘aiuto matematico’ ai propri alunni ma solo di offrire supporto tecnico rispetto al software e incoraggiamento a proseguire nel lavoro. In ogni sessione è stato presente un ricercatore in veste di osservatore, rimanendo sempre a disposizione per chiarimenti sui testi e per problemi tecnici.
Ciascuna fase si è articolata in più sessioni di esercitazioni, durante le quali i ragazzi hanno lavorato col software risolvendo una lista di esercizi proposti e rispondendo a domande mirate sul come e perché utilizzassero un determinato comando per svolgere una determinata operazione. È stato deciso inoltre che durante la sperimentazione i ragazzi redigessero, come compito a casa, alcuni report, nei quali riportavano commenti su quanto fatto in classe. L’obiettivo era quello di stimolare gli allievi a prendere le distanze e a riflettere sulle proprie attività; in questo senso, i report offrono materiale di osservazione ai due livelli, quello cognitivo e quello metacognitivo. Riteniamo, infatti, che tale attività abbia una forte valenza educativa in quanto momento ed occasione per l’allievo di ripensare e, soprattutto, esplicitare le proprie impressioni riguardo alla attività svolta in classe.
Sono state pianificate due sessioni di verifica degli obiettivi da raggiungere, in momenti diversi del percorso. Ciascuna di queste sessioni si è articolata in tre fasi: una fase di soluzione di esercizi nel micromondo, una fase di auto-correzione, in cui il ragazzo ha rivisto tramite il comando Traccia il proprio elaborato e ha cercato di correggere con carta e penna gli errori che eventualmente aveva commesso, e una fase finale di interazione con l’insegnante.
L’intervento ha mirato dunque a promuovere attività di controllo, finalizzate al superamento della difficoltà specifica, ma anche alla conquista di capacità generali nella gestione delle risorse.

Analisi dei risultati
Gli allievi che hanno trovato difficoltà hanno seguito il suggerimento del messaggio e si sono spostati nell’ambiente riga indipendente dove hanno eseguito i calcoli, applicando la proprietà distributiva. È interessante notare che alcuni ragazzi sono andati oltre; infatti, elaborando il suggerimento del messaggio, hanno utilizzato la riga indipendente per ricavare, sempre applicando la proprietà distributiva, le formule dei prodotti notevoli che riconoscevano necessarie ma che si accorgevano di non ricordare. Analizzeremo due protocolli che esemplificano bene tali comportamenti.

Il test iniziale aveva mostrato le gravi carenze di Alessio in relazione alla manipolazione algebrica; infatti, di fronte agli esercizi classici sui prodotti notevoli, l’allievo era rimasto bloccato e non aveva risposto ai quesiti. Ecco come il ragazzo procede nella risoluzione nel caso del cubo di un binomio, in una delle prime sessioni di recupero.

Protocollo n. 6 (Alessio)
> ScenR1_2-Fase 1_esercizio 7


Alessio tenta di applicare la formula del cubo del binomio: prova più volte ad aggiustare il terzo e il quarto termine (cambia i segni, cambia le parti letterali), ma senza successo. Il ragazzo decide quindi di seguire l’aiuto e per farlo apre una riga indipendente. (6)

Il ragazzo svolge i calcoli nella riga indipendente utilizzando la proprietà distributiva, infine copia e incolla il risultato al posto della risposta errata (7).
Questo è un esempio di comportamento tipico, nel quale la riga indipendente si configura come ambiente per l’esecuzione dei calcoli mediante la proprietà distributiva. Ipotizziamo che il ricorso alla riga indipendente sia motivato dal fatto che il ragazzo voglia nascondere l’utilizzo della proprietà distributiva. Probabilmente tale comportamento è conseguenza del fatto che Alessio interpreta la consegna in termini di applicazione della formula del cubo del binomio e ritiene ogni altra strategia non accettabile.
L’esempio seguente mostra invece un’evoluzione dell’uso standard qui sopra descritto.

Protocollo n. 4 (Mattia)
> ScenR1_1-Fase 3_ esercizio 1

Mattia: Per favore, puoi venire?
Ricercatore: Cosa c’è?
Mattia: Questo qui non mi riesce.
Ricercatore: Sfrutta il suggerimento.
Mattia: Si ma è lungo, l’ho fatto prima per i cubi!
Ricercatore: E allora cosa pensi di fare?
Mattia: Non lo so, è meglio che faccia la riga indipendente. Mattia segue il suggerimento del messaggio di aiuto e crea una riga indipendente.
Il ragazzo si è spostato nella riga indipendente ed ha utilizzato la proprietà distributiva, ha eseguito tutti i calcoli, infine ha copiato il risultato ottenuto e lo ha incollato al posto della soluzione dell’esercizio.
Vediamo come Mattia si comporta nello svolgimento dell’esercizio successivo.

Protocollo n. 4 (Mattia)
> ScenR1_1-Fase 3_ esercizio 2

Mattia: Non è cambiato nulla, c’è solo un meno, perché non mi torna?
Ricercatore: Hai ragione c’è solo un meno di differenza.
Mattia: Sì, e ora devo dar retta all’aiuto. Non vorrai mica che mi rifaccia tutto, eh? Uff!
Ricercatore: Dai Mattia, facciamo questo e poi abbiamo finito. (Mattia crea una riga indipendente)
Mattia: Sì perché prima sono stato scemo e anche te mi hai detto che si poteva fare così…Ora mi faccio quella con a e b e così vedrai che poi la so quella giusta.
Il ragazzo crea una riga indipendente in cui si ricava la formula del prodotto notevole ‘quadrato del trinomio’ per poi applicarla nella sequenza di soluzione.

Una volta ricavata la formula, Mattia la applica correttamente e produce la soluzione. Alla fine della lezione, ha luogo una breve intervista.

Ricercatore: Allora Mattia, hai imparato qualcosa di nuovo oggi?
Mattia: Sì, a risolvere un esercizio anche quando non so una formula, però è bene che trovi il verso di impararle.
È interessante analizzare l’evoluzione del comportamento di Mattia. Nel primo esercizio, dopo i primi tentativi per eliminare il segnale di errore, il ragazzo si rende conto che ‘per dar retta all’aiuto’ deve ripetere una serie di calcoli e per questi ricorre alla riga indipendente. Nel secondo esercizio la difficoltà si ripresenta, nonostante si tratti di una situazione molto simile. A questo punto Mattia opta ancora per l’uso della riga indipendente, ma si sposta sul problema più generale di ricavarsi la formula piuttosto che eseguire i calcoli richiesti.
E’ significativo l’evolversi della strategia riguardo all’uso di tale ambiente: da spazio per l’esecuzione di calcoli lunghi, calcoli percepiti come non del tutto accettabili in termini di contratto e quindi da nascondere, a spazio per ricavarsi una formula generale.
Certo, la fatica di ripetere l’esecuzione dei calcoli spinge Mattia verso la necessità di imparare le formule, ma nello stesso tempo, l’esperienza di calcolo sembra fornire il suggerimento a ricavarsi la formula necessaria. Dall’esercizio 1 all’esercizio 2 è avvenuto un cambiamento importante: nel primo caso il ragazzo ha semplicemente eseguito dei calcoli, mentre nel secondo caso è stato in grado di generalizzare il problema di calcolo finalizzandolo a ricavare la formula.
È interessante osservare che, almeno nella nostra esperienza, nessuno degli allievi ha usato la riga indipendente unicamente per ricavare formule o unicamente per applicare la proprietà distributiva: una volta comparsi, i due schemi di utilizzo coesistono e sono entrambi utilizzati dallo stesso soggetto.

Conclusione
Abbiamo rilevato nell’analisi dei protocolli, come l’uso della riga indipendente porti a centrare l’attenzione su uno specifico elemento del problema, una espressione o sottoespressione che si vuole calcolare, una formula che non si ricorda e che invece si vorrebbe avere disponibile. L’elaborazione di schemi d’uso come quelli descritti sopra, sembra dunque corrispondere allo sviluppo della capacità di prendere coscienza in modo sempre più preciso delle proprie difficoltà, identificando l’elemento sul quale lo sforzo di elaborazione deve essere diretto.
I risultati descritti sembrano confermare che lo sviluppo di tale capacità possa essere indotto, come ipotizzato, dai due elementi in gioco nel micromondo: il segnale di controllo-errore e la riga indipendente. Il segnale di controllo induce a prestare attenzione alla presenza di errori, mentre la riga indipendente sembra possa giocare un ruolo nella conquista di una consapevolezza più specifica della natura dell’errore stesso. Infatti, l’efficacia del supporto offerto da tale ambiente viene dal poter isolare i singoli passaggi, perché solo questo permette un controllo fine degli errori.
La necessità di riscrivere una espressione ha una funzione importante di oggettivazione della difficoltà, che in questo modo viene circoscritta, identificata, preparata per essere elaborata. Tutto questo sembra avere dei risvolti positivi in termini di sviluppo del controllo sul proprio operato, e di conseguenza sulla sensazione di controllabilità delle proprie difficoltà.

Note
(1) http://aplusix.imag.fr/
(2) Un’ulteriore modalità possibile (non utilizzata nella nostra sperimentazione) è quella ‘Verifica su richiesta’, che permette all’utente di lavorare in modalità ‘Test’ richiedendo però al software, qualora lo ritenga opportuno, il controllo su quanto scritto.
(3) Per una discussione più approfondita sul rapporto tra regole di un micromondo e aspetti cognitivi rimandiamo a Noss & Hoyles, 1996; per gli aspetti metacognitivi a Zan, 2005.
(4) Per creare i due diversi tipi di messaggio, abbiamo scritto la prima versione nel file Textes_Italiano.txt che abbiamo rinominato Textes_Italiano1.txt, lo stesso abbiamo fatto con la seconda versione rinominando il file, Textes_Italiano2.txt. La scelta di uno dei due file avrebbe fornito un diverso messaggio di fronte all’errore.
(5) Per approfondimenti sull’argomento, che non affrontiamo in questo articolo, rimandiamo a Mariotti & Maffei, 2006a, 2006b.
(6) Il riquadro in cui è mostrato lo svolgimento dell’esercizio corrisponde al foglio di lavoro nel micromondo. L’apertura di una riga indipendente è contrassegnata da una piccola linea orizzontale.
(7) Quest’ultima operazione non è mostrata nel riquadro di risoluzione.

Bibliografia
Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures, A. J. Bishop (ed.), D. Reidel Publishing Company. Dordrecht, Olanda.
Kieran, C. (1992). The learning and teaching of School Algebra, in ‘Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning’. D. A. Grouws ed., N.C.T.M.
Malara, N.A., Navarra, G.: 2002, Brioshi’ e altri strumenti di mediazione per un insegnamento dell’aritmetica nell’ottica di un avvio all’algebra come linguaggio, in Malara, N.A. & Altri (a cura di), Processi didattici innovativi per la matematica nella scuola dell’obbligo, Pitagora Editrice, 211-222
Mariotti, M. A. & Cerulli, M. (2003). Espressioni numeriche ed espressioni letterali: continuità o rottura? in ‘La matematica e la sua didattica’, vol. 1, Pitagora Editrice, Bologna.
Mariotti, M.A., Maffei, L. (2006a). Difficoltà in algebra: un intervento di recupero: Parte II: Risultati e discussione. La matematica e la sua didattica. 20(2), 223-245.
Mariotti, M.A., Maffei, L. (2006b). Difficoltà in algebra: un intervento di recupero: ParteI: Il problema didattico e presentazione dell’ambiente software. La matematica e la sua didattica. 20(1), 81-99.
Nicaud & al. (2004). Mixing microworld and Cas features in building computer systems that help students learn algebra. Inter. Jour. of Comp. for Math. Learning, 9(2), 169-211.
Nicaud; J-F., Bouhineau, D., Chaachoua, H., Trgalova, J. (2006). Developing Interacting Learning Environments that can be used by all the classes having access to computers. The case of Aplusix for Algebra. Les Cahiers Leibniz, 148 [http://www.leibniz-imag.fr]
Noss R. & Hoyles C. (1996). Windows on mathematical meanings, Kluwer Academic Press. Dordrecht, Olanda.
Tall, D. & Thomas, M. (1991). Encouraging versatile thinking in algebra using the computer, in Educational Studies in Mathematics, vol. 22 (pp. 125-147).
Zan, R. (2002a). Episode II: Marco and Anna – Each following their own path da Learning from learners, Proceedings of the 26th PME Conference, Norwich, UK.
Zan, R. (2002b). Metacognizione, convinzioni e affettività: un approccio integrato alle difficoltà in Matematica. In A. Contardi, B. Piochi (eds) ‘Le difficoltà in matematica. Metodologia e pratica di insegnamento.’
Zan, R. (2007). Difficolà in Matematica: Osservare, Interpretare, Springer, 2007.


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