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L’uso dei sensori di movimento per recuperare le radici cognitive del concetto di funzione

1 settembre 2008 | Domingo Paola, Liceo Scientifico “A.Issel” Finale Ligure G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova Ornella Robutti, Dipartimento di Matematica Università di Torino SIS Piemonte
Premessa
Secondo Chevallard, gli oggetti della matematica si originano da problemi e dalle pratiche messe in opera per risolvere quei problemi (Chevallard, 1992). Inoltre i significati degli oggetti matematici devono essere individuati proprio nelle procedure e nelle azioni che consentono di porre, affrontare e risolvere problemi. È abbastanza naturale concludere, da questa prospettiva, che, poiché pratiche e procedure risolutive di un problema dipendono dagli strumenti disponibili, ci sia una stretta connessione tra i significati degli oggetti matematici e gli strumenti che utilizziamo per risolvere problemi.
Questa posizione comporta implicazioni rilevanti nell’insegnamento – apprendimento della matematica e nella costruzione di ambienti di lavoro in cui gli studenti possono fare esperienza e costruire significati per gli oggetti di studio. Infatti la posizione sopra espressa implica che nuove pratiche, per esempio indotte dall’uso delle tecnologie dell’informazione e della comunicazione, possano portare alla nascita di nuovi significati per gli oggetti matematici. In altri termini, ed è quello che qui vogliamo sostenere, l’uso di sensori di posizione, di software di geometria dinamica o di manipolazione simbolica, può modificare, anche profondamente, il processo di insegnamento – apprendimento e di costruzione di significato per alcuni oggetti matematici, come per esempio quello di funzione (Paola, 2004, 2006; Robutti, 2003, 2004, 2006).
La definizione di funzione come particolare sottoinsieme del prodotto cartesiano non appare in matematica improvvisamente e per caso: è il prodotto di un faticoso, lungo e non lineare processo di decantazione del pensiero matematico. Come scrive Ponte, il concetto di funzione nasce, con Galileo e Keplero, come strumento matematico utile a studiare fenomeni naturali, per poi passare attraverso lo sviluppo del simbolismo algebrico offerto da Viète e in particolare attraverso le potenzialità espresse dal piano cartesiano e dalla geometria analitica di Cartesio e Fermat. Si afferma con Newton e Leibniz, che parla esplicitamente di funzione per esprimere la dipendenza di grandezze geometriche; si precisa successivamente con Eulero (che non parla più di grandezze, ma di espressioni analitiche) e in seguito ancora con D’Alembert e Fourier, grazie anche ai problemi posti dalla fisica – matematica. Si precisa e si generalizza ulteriormente con Dirichlet che separa il concetto di funzione dalla sua rappresentazione sotto forma di espressione analitica. Per Dirichlet la funzione diventa un’arbitraria corrispondenza tra variabili appartenenti a insiemi numerici, tale che, a ogni valore della variabile indipendente, viene associato uno e un solo valore della variabile dipendente. Con lo sviluppo della teoria degli insiemi, grazie al lavoro di Cantor, una funzione viene a indicare una corrispondenza univoca fra insiemi qualunque, non solo numerici (Ponte, 1992). L’evoluzione del concetto di funzione continua, sia con gli sviluppi della teoria degli insiemi, sia con quelli delle funzioni di distribuzione in probabilità e statistica.
Le radici cognitive del concetto di funzione, però, sono da ricercarsi e individuarsi nei secoli XVI e XVII, particolarmente nei problemi legati alla variazione di grandezze geometriche e nel movimento, ossia a grandezze che variano nel tempo: in particolare sono da ricercarsi nell’idea di curva come traccia lasciata da un punto in movimento. Noi pensiamo che uno dei compiti più importanti dell’insegnante sia quello di costruire ambienti di insegnamento – apprendimento che offrano agli studenti la possibilità di fare esperienze sensate (nella duplice accezione galileiana di legate ai sensi e guidate dall’intelletto e dalla teoria) degli oggetti di studio; che consentano di accedere alle radici cognitive dei concetti matematici fondamentali. Abbiamo anche la convinzione che le tecnologie oggi disponibili possano svolgere un ruolo di primaria importanza nella costruzione di ambienti di insegnamento – apprendimento con le caratteristiche sopra elencate.
In questo articolo vogliamo supportare questa nostra convinzione presentando e discutendo un’attività svolta con i sensori di movimento e tesa a introdurre il concetto di funzione e a fondarne il significato sull’esperienza del movimento stesso degli studenti. L’attività è stata svolta in diversi livelli scolari (si veda, per esempio, Paola, 2002; 2003). Qui proponiamo un’analisi cognitiva di alcune parti dell’esperienza svolta in una prima classe di liceo scientifico che segue un corso sperimentale PNI.

Contesto in cui si situa l’attività descritta
Proponiamo in questa sezione una breve descrizione del contesto in cui si situa l’attività che abbiamo deciso di presentare e analizzare. Chi desiderasse informazioni più complete, dettagliate e approfondite, può accedere, cliccando sulla hotword seguente, a un sito web nel quale è raccolta un’ampia documentazione sul lavoro svolto nei primi sei mesi di scuola nella classe in cui l’attività qui discussa è stata proposta.
http://didmat.dima.unige.it/miur/miur_dima/G/STORIA_DI_UNA_RICERCA/INDEX.HTM
Le principali caratteristiche dell’ambiente di insegnamento – apprendimento in cui l’attività si è svolta sono le seguenti:
• attenzione alla costruzione dei significati degli oggetti matematici;
• attenzione all’interazione sociale in classe, in particolare alla didattica del confronto (di testi, idee, congetture, strategie, convinzioni, teorie), alla comunicazione delle conoscenze e delle idee in classe, all’argomentazione a sostegno delle proprie idee e congetture e all’ascolto di quelle prodotte da altri;
• attenzione al ruolo di mediazione semiotica giocato dagli strumenti nel processo di acquisizione di conoscenza e di costruzione di significato degli oggetti matematici;
• ricerca di una continuità cognitiva con le esperienze degli studi precedenti, che consenta allo studente di orientarsi nel processo di apprendimento;
• attenzione agli aspetti empirici e percettivi, come una costante di ogni processo di apprendimento e di ogni costruzione di un sapere teorico: una costante che non può limitarsi a essere un punto di partenza dal quale gradualmente allontanarsi, ma deve costituire un continuo punto di riferimento che favorisca il riappropriarsi dei significati, quando si rischi di perderli nelle foreste di simboli che caratterizzano i territori della matematica;
• attenzione ai processi più che ai prodotti degli studenti;
• ricerca di un percorso maggiormente attento alle esigenze di formazione del cittadino e della persona, piuttosto che a quelle del professionista che dovrà utilizzare la matematica nella propria professione;
• uso massiccio delle nuove tecnologie (sensori di movimento, strumenti di calcolo grafico – simbolico, software di geometria dinamica, …);
• lavori sistematici in piccoli gruppi e investimento di tempo e di altre risorse alla cura degli aspetti relazionali, di interazione sociale (sia nel lavoro nei piccoli gruppi, sia nelle discussioni matematiche alla presenza dell’intera classe), allo sviluppo di una sensibilità di appartenenza a una piccola comunità che può funzionare al meglio solo se si prevengono situazioni di disagio;
• Individuazione di un tema portante, di un nucleo concettuale unificante e fondante che è quello di modello, in particolare, di funzione, al quale ricondurre le diverse attività didattiche.

Percorso seguito dagli studenti prima di effettuare l’attività descritta
All’inizio dell’anno scolastico, dopo alcune attività di problem solving aventi come obiettivi quelli di riprendere in esame alcune conoscenze apprese nella scuola media, di consentire agli studenti di conoscersi e di abituarsi a lavorare in piccoli gruppi, gli studenti sono stati suddivisi piccoli in gruppi con il compito di svolgere, nell’ordine, le seguenti attività (che uno dei due autori aveva già sperimentato anche in una scuola secondaria di primo grado):
1. a turno, ciascun coordinatore di ogni gruppo si è mosso rispetto al sensore, osservando la traccia del proprio movimento proiettata su un muro dell’aula grazie a un view screen posto su una lavagna luminosa e collegato alla calcolatrice. La consegna prevedeva che anche gli altri studenti osservassero attentamente, dal proprio banco, il movimento dei coordinatori e la traccia descritta sul muro dell’aula.
2. Gli studenti si sono riuniti nei gruppi di lavoro per riflettere e discutere su quanto avevano fatto o visto fare. La consegna era quella di iniziare ad avanzare ipotesi (o di confrontare quelle eventualmente già pensate individualmente durante la precedente attività) sul come e perché il movimento fosse legato al grafico osservato sul muro.
3. A turno, tutti gli alunni che nella prima attività si erano limitati semplicemente a osservare il movimento dei coordinatori dei gruppi di lavoro, sono stati chiamati a compiere essi stessi il movimento. Inizialmente, però, la lavagna luminosa veniva spenta: i compagni di gruppo (eventualmente anche di altri gruppi) dovevano disegnare un grafico posizione-tempo che rappresentasse il movimento. Alla fine del movimento, la lavagna veniva riaccesa, in modo che gli studenti potessero confrontare la traccia disegnata sul muro con il grafico tempo-posizione disegnato sul foglio.
4. Gli studenti si sono nuovamente riuniti in gruppi di lavoro per rispondere a domande specifiche riguardanti l’interpretazione di alcune caratteristiche grafiche delle tracce osservate sul muro (per esempio dovevano spiegare che cosa suggeriscono un segmento orizzontale, uno obliquo, oppure un tratto di curva e così via…)
5. A turno, i coordinatori di ciascun gruppo sono stati invitati a muoversi, con il sensore in funzione e con la traccia proiettata alle loro spalle, in modo tale che essi, al contrario dei compagni, non potessero osservare la traccia prodotta dal proprio movimento. I coordinatori dovevano descrivere verbalmente, al tempo stesso, i propri movimenti e le caratteristiche significative della traccia proiettata sul muro e visibile a tutti gli altri studenti. I compagni di gruppo dovevano prendere nota di eventuali errori commessi dal coordinatore per poi discuterne al termine dell’esperienza.
6. A turno, tutti gli studenti dovevano cercare di riprodurre, con il proprio movimento, un grafico posizione-tempo generato dalla calcolatrice.
7. A turno, ciascun coordinatore si è mosso e i compagni di gruppo hanno riportato, sul proprio quaderno, la traccia proiettata sul muro durante il movimento del coordinatore. Al termine del movimento, il coordinatore, utilizzando una specifica funzione fornita dalla calcolatrice, ha rilevato un certo numero di coppie di dati “tempo-posizione”. I dati raccolti sono stati elaborati in classe dagli studenti, con l’aiuto l’insegnante, in successive lezioni.
Nei successivi due mesi di lavoro gli studenti hanno nuovamente svolto attività di problem solving, hanno preso confidenza con alcuni menu della calcolatrice grafico – simbolica che avevano in dotazione (in particolare con il menu per editare funzioni e con quelli dedicati alla rappresentazione grafica di funzioni) e hanno appreso e consolidato alcune tecniche di calcolo algebrico.
L’attività che ora presentiamo e analizziamo si situa a questo punto dell’anno scolastico: verso il terzo mese di lavoro.

L’attività didattica
Agli studenti, suddivisi in piccoli gruppi, sono state proposte le seguenti attività, dopo aver richiamato brevemente le precedenti esperienze con i sensori prima descritte.
Attività 1.
Verrà disegnata alla lavagna una traccia distanza – tempo; ciascun coordinatore dovrà muoversi in modo che la calcolatrice riproduca la traccia disegnata sullo schermo. Alla fine di ciascuna prova, i componenti del gruppo del coordinatore che si è mosso, potranno correggere eventuali errori del compagno. La correzione andrà effettuata prima verbalmente e poi riproducendo un grafico più simile a quello disegnato. Tutti gli altri studenti dovranno stare particolarmente attenti a questa attività, cercando di capire in che modo sono legate la velocità del corpo che si sta muovendo e la sua accelerazione alle caratteristiche del grafico. Infatti l’attività di oggi è finalizzata proprio a scoprire, alla fine, come l’accelerazione e la velocità sono legate alle caratteristiche del grafico distanza – tempo.
Attività 2.
I quattro studenti (di gruppi diversi) che hanno effettuato le migliori prestazioni nella precedente attività dovranno muoversi rispetto al sensore, senza guardare il grafico proiettato sul muro e dire che tipo di grafico si produce in conseguenza del loro movimento. I due compagni di gruppo dovranno, alla fine della prova, individuare eventuali errori e dare indicazioni di come si sarebbero potuti evitare (ossia devono dire come avrebbe dovuto muoversi il loro compagno).
Attività 3.
La calcolatrice consente di disegnare anche i grafici della velocità e dell’accelerazione (anche se meno precisi di quello della distanza). Uno studente per ciascun gruppo si muoverà rispetto al sensore e ogni volta confronteremo il grafico distanza – tempo con quello velocità – tempo. Ciascun gruppo dovrà cercare di rispondere alla domanda “che relazione c’è tra i due grafici?” Avendo il grafico della “distanza – tempo” sono in grado di determinare quello della velocità? E il viceversa? Ciascun gruppo che ha la necessità di fare altre prove deve spiegare esattamente quale congettura intende verificare.
Attività 4.
Uno studente di ciascun gruppo si muove rispetto al sensore e, aiutato dai compagni di gruppo dovrà disegnare alla lavagna il grafico della velocità – tempo corrispondente al suo movimento. Attività 5.
L’insegnante si muoverà rispetto al sensore e poi raccoglieremo, con la funzione “trace”, una quarantina di dati (distanza – tempo) che elaboreremo in classe nelle prossime lezioni, cercando di capire in che modo essi possono dare informazioni sulla velocità del corpo e quale interpretazione geometrica ha la velocità di un corpo.
In generale, cercheremo di capire che relazione esiste tra la variazione di una grandezza e la variazione della sua velocità.
In questo lavoro ci limitiamo ad analizzare alcuni momenti delle prime due attività, che sono anche state videoregistrate (vedere anche Arzarello & Paola, 2003).
In un breve filmato tratto dall’attività 1, si vede uno studente, M., che, dovendo riprodurre, muovendosi, il grafico disegnato sulla lavagna (Fig. 1) guarda alla lavagna e allo schermo per coordinare i propri movimenti.

Fig. 1

M. riesce a muoversi in modo tale da riprodurre un grafico molto simile a quello disegnato sulla lavagna. Lo studente mostra quindi di sapere come muoversi per ottenere un grafico simile a quello disegnato sulla lavagna, ma ha alcune difficoltà a spiegare perché si è mosso in un certo modo piuttosto che in un altro. M. sembra possedere un buon livello di conoscenza tacita, implicita, ma sembra avere difficoltà ad esplicitarla, a raggiungere una buona consapevolezza di tale conoscenza o, almeno, ad esprimerla in un linguaggio comprensibile all’insegnante e ai compagni. Se si riflette sul fatto che il passaggio da una forma di conoscenza tacita a una consapevole, da un sapere come a un sapere perché è forse uno dei più significativi obiettivi della scuola oggi, si converrà che la situazione sopra descritta è didatticamente rilevante. L’insegnante quindi avvia una discussione collettiva sull’esperienza di M., invitando i compagni a descrivere il movimento di M. e ad aiutarlo a spiegare perché è risultato soddisfacente.
Nella discussione che segue, uno dei suoi compagni di gruppo, E., descrive a parole il movimento di M., aiutandosi con espressivi gesti delle mani che rivelano una buona comprensione del fenomeno osservato.

E. “Prima va piano” [Mentre pronuncia queste parole, E. muove la mano destra orizzontalmente verso destra]
“poi veloce” [e muove velocemente la sua mano destra verso l’alto, fig.2a]
“poi scende giù subito” [la sua mano si muove velocemente fino a toccare il banco, fig 2b]
“poi rallentava” [muove lentamente la sua mano verso la sua sinistra, descrivendo nell’aria una curva convessa, prima decrescente e poi crescente fig. 2c]
“e poi veloce di nuovo” [la sua mano sale verso destra, velocemente fig. 2d]
“e infine si ferma” [accenna a un movimento orizzontale della sua mano verso destra].

a. b.

c.

d.

Fig. 2

I gesti di E. mostrano che egli ha chiaramente compreso il fenomeno osservato, in particolare le relazioni tra grafico e movimento. Si può dire che i gesti delle sue mani contengano tutte le caratteristiche delle leggi del moto. Infatti quando vuole descrivere un aumento di velocità, la sua mano si muove più velocemente; viceversa, muove più lentamente la mano quando vuole descrivere una diminuzione di velocità. Il movimento della mano traccia in aria profili simili a quello del grafico disegnato sulla lavagna e riprodotto con il view screen sul muro. Nei grafici cartesiani, però, le informazioni relative alla variazione di una grandezza (cresce o decresce e come cresce o decresce?) sono codificate staticamente in un unico segno, che è il grafico stesso. Ciò può rendere alcune informazioni difficilmente accessibili, in particolare le relazioni tra la concavità del grafico e le variazioni di velocità della variabile dipendente rispetto a quella indipendente. Nei gesti di E., invece, vi sono due aspetti chiaramente distinti: il primo riguarda la traiettoria della sua mano, che riproduce la forma del grafico della legge oraria della posizione; il secondo riguarda la velocità con cui si muove la sua mano e che riproduce le variazioni di velocità del corpo in movimento. Si può dire che i gesti di E. possono costituire una sorta di strumento di mediazione semiotica tra il fenomeno osservato (movimento di M.) e il segno culturale utilizzato per rappresentarlo (il grafico cartesiano della legge oraria della posizione).
Naturalmente questi gesti suggeriscono un processo di interiorizzazione delle relazioni che legano la crescenza e la concavità di un grafico alla velocità e alla variazione di velocità del corpo, ma essi creano anche un possibile spazio di comunicazione per la classe che può favorire l’evoluzione verso i significati scientifici istituzionali dei segni introdotti dall’insegnante sulla lavagna anche per altri studenti. In effetti le parole e i gesti di E. sono poi utilizzati anche da altri studenti nel prosieguo della discussione, sia per spiegare ad altri, sia per chiarire a se stessi.
In un altro breve filmato tratto dall’attività 2, G. descrive, mentre si muove con sensore e proiezione del grafico alle sue spalle, le caratteristiche del grafico della legge oraria della posizione. Le parole che utilizza sono quelle legate all’esperienza quotidiana del moto. Riferendosi a un grafico simile a quello di figura 3 dice:

G: “Linea orizzontale … sale piano … scende velocemente …linea orizzontale … sale velocemente … fermo”

Fig. 3

Come si può notare non solo le parole sono ancora fortemente legate a esperienze percettive, ma esse non consentono nemmeno, per esempio, una classificazione efficace e adeguata fra diversi tipi di crescita. Il “sale piano” e “sale velocemente” assumono senso solo in termini relativi l’uno con l’altro e non sembrano inoltre consentire a G. di apprezzare la variazione di velocità all’interno di ciascuno di quei tratti che caratterizza con un unico termine (“piano” o “velocemente”). Molto più ricca di significato e di ulteriori sviluppi sarebbe la classificazione dei diversi tipi di crescita mediante parole del tipo “cresce costantemente”, “cresce sempre meno” e “cresce sempre più”, che identificherebbero grafici di funzioni crescenti (rispettivamente) lineari, concave e convesse.

Conclusioni
L’analisi di queste attività rivela che l’esperienza con i sensori di movimento dà la possibilità di costruire in classe un linguaggio, fatto di gesti e di metafore, fortemente legato alle percezioni, ma talvolta più adeguato e talvolta meno a descrivere le esperienze vissute e la ricchezza di fatti matematici a cui tali esperienze possono essere legate. È chiaro che è l’insegnante a essere responsabile dell’evoluzione dei gesti e delle metafore fortemente legate alle esperienze percettive verso i significati istituzionali. Non può che essere l’insegnante che deve favorire l’evolvere dai gerghi del tipo “sale velocemente” o dai gesti delle mani di E. a espressioni più vicine al linguaggio matematico come, per esempio, “la funzione cresce ed è convessa”. Nell’analisi di varie esperienze e situazioni didattiche ci siamo resi conto che questa evoluzione può essere favorita e aiutata da una tecnica che altrove abbiamo chiamata gioco semiotico dell’insegnante (Arzarello & Paola, 2007).
L’insegnante, quando si accorge che il linguaggio utilizzato da uno studente è assente, confuso o inadeguato, mentre alcuni suoi gesti sembrano essere particolarmente adatti a descrivere una data situazione, usa gli stessi gesti dello studente, accompagnandoli, però, con parole appropriate e vicine a quelle del linguaggio matematico. Se questo gioco è praticato sistematicamente e consapevolmente, ossia se l’insegnante accetta di farne uno strumento didattico, allora l’esercizio dell’azione semiotica, tesa a far evolvere linguaggio e gesti degli studenti verso il linguaggio istituzionale, viene notevolmente favorita.
Da quanto detto emerge che la scelta di utilizzare le nuove tecnologie nell’insegnamento – apprendimento della matematica non implica in alcun modo una riduzione di importanza del ruolo dell’insegnante: tutt’altro. Il ruolo dell’insegnante come garante del processo di costruzione di significato degli oggetti di studio ne esce addirittura rafforzato. In ambienti di insegnamento – apprendimento in cui vengono utilizzati strumenti, inoltre, l’insegnante è responsabile della genesi di schemi d’uso di tali strumenti adeguati a favorire lo sviluppo dei significati istituzionali per gli oggetti di studio. E gli strumenti, non sono neutrali, ma sono intrisi di sapere e cultura; pertanto il loro uso, come già detto, può comportare conseguenze anche sul significato stesso degli oggetti di studio di cui l’insegnante deve essere ben consapevole. Per esempio, il ricorso a tecnologie, esperienze e metafore legate al movimento, veicola significati differenti da quelli indotti da esempi di funzioni definite per punti o su insiemi finiti e viste come sottoinsiemi di coppie del piano cartesiano.

Bibliografia
Arzarello, F. & Paola, D. (2003). Mathematical Object and proofs within technological environments. An embodied analysis, CERME 3, Bellaria.
Arzarello, F. & Paola, D. (2007). Semiotic Games: the role of the teacher, PME XXXI, Seoul, Korea.
Chevallard, Y. (1992). Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par un approche antropologique, Recherches en Didactique des Matématiques, 12 (1), 73 – 112.
Paola, D. (2002). Cinematica e nuove tecnologie, Didattica delle Scienze, n. 218, 41-46.
Paola, D. (2003). Introduzione al concetto di funzione in un primo anno di scuola secondaria, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, v. 26 B, 548 – 575.
Paola, D. (2004). Insegnamento – apprendimento tecnologico, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 27A – B n. 6, 671 – 704.
Paola, D. (2006). Sensing Mathematics in the classroom through the use of new technologies, in Changes in Society: A Challenge for Mathematics Education, Proceedings CIEAEM 58, Srnì p.30 – 35 (versione francese: On sent les mathématiques en class à travers l’usage des nouvelles technologies, p. 36 – 41).
Ponte, J. P. (1992). The history of the concept of function and some educational implications. The Mathematics Educator 3(2), 3-8.
Robutti, O. (2003). Il senso del grafico con la mediazione delle tecnologie: metafore attivate e significati costruiti, La matematica e la sua didattica, 2, 173-195.
Robutti, O. (2004). Apprendimento percettivo-motorio dalla scuola dell’infanzia alla scuola superiore, in: B. D’Amore e S. Sbaragli (eds.) La didattica della matematica: una scienza per la scuola, Atti del Convegno di Castel S. Pietro Terme, 5-7 novembre 2004, 29-38.
Robutti, O. (2006). Motion, Technology, Gesture in Interpreting Graphs, The International Journal for Technology in Mathematics Education, IJTME, vol.13, n.3, 117-125.


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