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Software di geometria dinamica per lo studio della geometria dello spazio

1 settembre 2008 | Giuseppe Accascina, Dipartimento Metodi e Modelli Matematici, Sapienza Università di Roma e-mail: accascina@dmmm.uniroma1.it Enrico Pietropoli, Liceo Classico E. Montale, Roma e-mail: enrico.pietropoli@libero.it Enrico Rogora, Dipartimento di Matematica, Sapienza Università di Roma e-mail: rogora@mat.uniroma1.it

Riassunto. Viene analizzato l’uso dei diagrammi digitali costruiti con Cabri 3D nell’insegnamento – apprendimento della geometria euclidea dello spazio, a livello di scuola secondaria superiore. Viene in particolare osservato come sia necessario affiancare all’uso del software quello di modelli concreti per evitare insidiose misconcezioni.

La geometria dello spazio è difficile e forse anche per questo motivo il suo insegnamento nelle scuole è sempre più trascurato.

In letteratura vi sono molti studi dedicati a quest’argomento. Qui ci limitiamo a:

• Mariotti, M.A. (2005) La geometria in classe. Riflessioni sull’insegnamento e apprendimento della geometria, Pitagora Editrice, Bologna

e il capitolo Viviamo nello spazio tridimensionale. Perché l’insegnamento della geometria privilegia la sola geometria del piano? Sono possibili approcci alternativi? di

• V. Villani (2006) Cominciamo dal punto. Domande, risposte e commenti per saperne di più sui perché della Matematica (Geometria), Pitagora Editrice, Bologna.

Ciò succede non solo in Italia. In

• Bakò, M. (2003) Different projecting methods in teaching spatial geometry, Proceedings of CERME III, Thematic group 7 (1).

viene citata un’indagine del Ministero della Pubblica Istruzione francese che

mostra che la statistica e la geometria dello spazio sono le materie meno amate dagli studenti di 15 anni. Solo il 10 % degli insegnanti insegna geometria dello spazio. Gli insegnanti dicono che non hanno abbastanza tempo per insegnarla, ma la vera ragione è che gli studenti non sanno vedere in 3D. (nostra traduzione).

Sempre Bakò cita un interessante esempio tratto da un’indagine svolta da insegnanti dell’ Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques (I.R.E.M.) di Strasbourg

• Bayart C. (1997) Voir et raisonner: à la conquête de l’espace au collège, IREM, Strasbourg (2)

Agli studenti è stato mostrato il seguente diagramma (3) dicendo esplicitamente che rappresenta un cubo. Viene quindi chiesto se i punti G, N, M, e P sono allineati.

Fig. 1: Diagramma rappresentante un cubo. I punti G, N, M e P sono allineati?

La maggior parte degli studenti ha risposto di sì. Costoro non hanno svolto alcun ragionamento geometrico.
Il senso che attribuiamo alle parole “ragionamento geometrico” è ben sintetizzato in:

• Mariotti. M.A. (1996) Costruzioni in geometria: alcune riflessioni, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 19B, pp. 261-287

La geometria è quel dominio della Matematica che tratta delle proprietà spaziali; secondo Fischbein i concetti geometrici, o “concetti figurali”, presentano una duplice natura in quanto sono caratterizzati dalla fusione di due componenti, una figurale ed una concettuale. La prima trae origine dal mondo fisico in cui i concetti nascono e ne esprime la spazialità, la seconda si riferisce al carattere astratto (ideale, generale … ) e teorico di tali concetti; in accordo con questa ipotesi, il ragionamento geometrico è caratterizzato da un processo dialettico tra la componente figurale e quella concettuale.

La teoria dei concetti figurali è stata introdotta in:

• Fischbein, E. (1993) The Theory of Figural Concepts Educational Studies in Mathematics 24; pp. 139-162

Un diagramma come quello discusso da Bakò, se prodotto con Cabri 3D (4), non può invece trarre in inganno quando si manipola il diagramma con le funzioni messe a disposizione dal software. Cabri 3D permette infatti di costruire diagrammi bidimensionali digitali rappresentanti oggetti tridimensionali che permettono di girare intorno ad un oggetto, cioè di cambiare il punto di vista.

Fig. 2: Cambio del punto di vista con Cabri 3D

Molti programmi di rappresentazione tridimensionale permettono di cambiare il punto di vista. Ma la prerogativa di Cabri 3D è d’essere l’unico programma di geometria dinamica tridimensionale. Per spiegare cosa s’intende per programma di geometria dinamica, consideriamo un nuovo diagramma costruito con Cabri 3D (5).

Fig. 3: Un cubo, una sfera, una retta, un piano e la sua intersezione con il cubo

Per realizzare il diagramma abbiamo costruito un cubo con centro in un punto assegnato O. Abbiamo poi costruito una sfera di centro O interna al cubo, un punto V sulla sfera, la retta r passante per i punti O e V, un punto P sulla retta r, il piano passante per il punto P e perpendicolare alla retta r ed infine abbiamo evidenziato l’intersezione del piano con il cubo.

Osserviamo che abbiamo scelto un punto V qualsiasi – cioè non determinato da ulteriori costruzioni geometriche – sulla sfera e un punto P qualsiasi sulla retta r. Bene, Cabri 3D permette di “afferrare” il punto P e farlo scorrere sulla retta r. Mentre si muove il punto P, si muove anche il piano; esso continua a passare per il punto P e continua ad essere perpendicolare alla retta r. In altre parole il piano continua a mantenere le condizioni che gli avevamo assegnato. Pertanto, muovendo il punto P sulla retta r, otteniamo piani tutti paralleli tra loro.
Si chiamano programmi di geometria dinamica quelli che:
i) permettono la costruzione di un diagramma specificando le relazioni geometriche astratte tra i suoi elementi
ii) mantengono le relazioni geometriche tra gli elementi di un diagramma quando si modificano le posizioni degli elementi stessi.
Cabri 3D è al momento attuale l’unico programma di geometria dinamica 3D. Esistono invece vari programmi di geometria dinamica 2D. I capostipiti sono stati Cabri-Géomètre, più diffuso in Europa, e Geometry Sketchpad, più diffuso negli USA. Ad essi ne sono seguiti diversi altri. Alcuni originali, come Cinderella, la maggior parte semplici cloni dei due capostipiti.
A proposito dei programmi di geometria dinamica, Mariotti a pagina 147 del libro La geometria in classe citato in precedenza osserva:

Questo tipo di software produce, dunque, delle immagini nello schermo che sono controllate logicamente dai comandi disponibili, Nel quadro generale della teoria dei concetti figurali, che abbiamo introdotto all’inizio e preso come riferimento per la nostra discussione, ciò significa che sia la componente figurale che quella concettuale sono evocate in ogni figura di Cabri.

Torniamo al nostro diagramma con Cabri 3D.

Ora muoviamo il punto V sulla sfera. Contemporaneamente si muove la retta r che continua a passare per O e V, di conseguenza si muove il punto P che continua ad appartenere alla retta r e anche il piano che continua a passare per P e ad essere perpendicolare alla retta r.
Il punto P mantiene sempre la stessa distanza dal punto O. Muovendo pertanto il punto V sulla sfera, otteniamo piani aventi tutti la stessa distanza dal punto O.
In definitiva, muovendo i punti V e P possiamo esaminare tutti i piani dello spazio e le loro intersezioni con il cubo. Questo diagramma ci permette quindi di studiare intersezioni di un cubo con un qualsiasi piano.

Il problema delle sezioni di un cubo con un piano si presta molto bene per abituare gli studenti a formarsi immagini mentali di configurazioni spaziali.
Molto noto a questo proposito è il film d’animazione:

• Banchoff, T. e Strauss, C (1978), The Hypercube: Projections and Slicing [video: VHS format ],Thomas Banchoff Productions, Inc., P.O.Box 2430, Providence RI 02906

il quale inizia con l’esaminare le sezioni piane di un cubo (tridimensionale) per poi passare ad esaminare un ipercubo (quadridimensionale) e le sue sezioni con un iperpiano (tridimensionale).

Citiamo alcune proposte didattiche italiane sull’intersezione cubo-piano:

• Seminario Didattico, Dipartimento di Matematica, Università di Pisa (1985), La geometria: dallo spazio al piano Quaderno n. 2. per l’aggiornamento degli insegnanti elementari, 1985;
• Villani, V. (1987) La geometria dello spazio, L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 10, n.5, p. 405-440
• Dedò, M., (1995) Modelli di Poliedri, Atti del XVII convegno sull’Insegnamento della Matematica,: L’insegnamento della geometria a cura di Micale, B. e Plachino, S. (Latina 27-29 ottobre 1994), Notiziario UMI, supplemento al n. 8-9, pp. 13-28
• Tomasi, L. e Bernecoli S. (1995) Sezioni piane di un cubo: un problema di geometria dello spazio risolto con Cabri-géomètre Quaderno n.9 di CabriIrrsae http://www.fardiconto.it/cabrirrsae/quaderni/quad09.html

Proprio l’esempio dell’intersezione di un cubo con un piano è usato da Fischbein nel già citato articolo per descrivere la teoria dei concetti figurali (figural concepts).

Nel quaderno di Tomasi e Bernecoli viene usato Cabri-Géomètre per rappresentare oggetti tridimensionali. Il problema è che Cabri-Géomètre è un programma di geometria dinamica nato per rappresentare figure piane. Pertanto, per utilizzarlo nella rappresentazione di oggetti tridimensionali, è necessario avere una buona conoscenza della geometria descrittiva, materia che studia appunto come rappresentare la geometria tridimensionale nel piano bidimensionale. Con Cabri 3D, nato posteriormente al quaderno di Tomasi e Bernecoli, è invece possibile rappresentare oggetti tridimensionali nel piano senza aver alcuna conoscenza di geometria descrittiva.

Nell’insegnamento della geometria dello spazio, poiché le rappresentazioni bidimensionali dello spazio possono creare negli studenti problemi d’interpretazione, viene di solito suggerito ai docenti di fare uso di modellini concreti.

Nel nostro caso in cui vogliamo rappresentare intersezioni di un cubo con un piano non è però così semplice. È infatti facile procurarsi un modellino di un cubo. Non è però altrettanto semplice affettarlo con piani.
Per ovviare a ciò in

• Lo Cicero, A., Micale, B. e Milone, C. (2005) Visualizzazione in geometria: previsioni di regolarità fra ombre e colori (parte seconda), L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, vol. 18, p. 223-244

viene proposto l’uso di modelli di plexiglas riempiti con un liquido.

Fig. 4: I modellini di cubi in plexiglas riempiti con un liquido

Sono modelli molto utili, ma non sono di facile realizzazione e, una volta costruiti, non sono modificabili.

Sono invece facilmente realizzabili e modificabili i diagrammi costruiti con Cabri 3D Nel già citato sito di Cabrilog si trovano interessanti diagrammi costruiti con Cabri 3D. Altri esempi si trovano in

• Tomasi, L. e Bainville, L. (2006) Introduzione a Cabri 3D, Mediadirect, Bassano del Grappa

Il sito di Luigi Tomasi

http://www.matematica.it/tomasi/

contiene molti esempi e un elenco di siti dedicati a Cabri 3D.

Torniamo al nostro problema dell’intersezione di un cubo con un piano e poniamoci il seguente problema:

È possibile ottenere triangoli rettangoli intersecando un cubo con un piano?

Abbiamo posto questa domanda a studenti di scuola secondaria superiore, a studenti universitari e a docenti in formazione di matematica durante una sessione di laboratorio dedicata alla geometria dello spazio.
Gli studenti avevano imparato ad usare Cabri 3D ed avevano a disposizione il file con il quale è stato realizzato il diagramma in figura 3 e alcuni modellini di cubi.
Gli studenti di scuola costituivano una classe del Liceo Classico “E. Montale” di Roma che veniva introdotta da E. Pietropoli allo studio della geometria dello spazio. Tale argomento rientrava nell’usuale programmazione annuale della classe, un quarto anno di liceo scientifico Brocca.
Degli studenti universitari, alcuni erano iscritti alla Laurea triennale, altri alla Laurea Specialistica di Matematica. Tutti stavano seguendo uno dei corsi di Matematica complementare svolti da G. Accascina negli A.A. 2005-06 e 2006-07 presso l’Università di Roma 3. I corsi erano dedicati all’analisi dell’uso di programmi di calcolo simbolico e di geometria dinamica nell’insegnamento della matematica nelle scuole secondarie superiori.
Gli insegnanti in formazione erano laureati iscritti alla Scuola di Specializzazione all’Insegnamento Secondario (SSIS) del Lazio che stavano seguendo uno dei corsi sulla geometria dello spazio svolti da E. Rogora negli A.A. 2004-05 e 2005-06.
In tutti i casi, gli studenti, sia quelli di scuola, sia quelli universitari, sia i futuri professori di scuola, hanno avuto grosse difficoltà. Presto gli studenti hanno abbandonato lo schermo poiché dalla semplice osservazione dei diagrammi digitali di Cabri 3D non erano in grado di capire se un particolare angolo fosse retto o meno. Hanno quindi fatto ricorso alle mani e ad un modellino di cubo.

Fig. 5: Alla ricerca di un triangolo rettangolo

Fig. 6: Forse non esiste un triangolo rettangolo

Questi ed altri esperimenti con un’analisi delle insidiose misconcezioni che si possono generare con l’uso di Cabri 3D sono stati descritti in:

• Accascina, G e Rogora, E. (2005) Using Cabri3D: First Impressions, Proc. of the 7th International Conference on Technology in Mathematics Teaching, Vol. 1, University of Bristol, 2005, ISBN 0-86292-559-2, pp. 53-60
• Accascina, G e Rogora, E. (2006) Using Cabri3D Diagrams For Teaching Geometry, International Journal for Technology in Mathematics Education, vol. 13, n.1, pp. 11- 22
• Accascina, G e Rogora, E. (2006) La geometria 3D nella formazione degli studenti SSIS, in: La matematica e la fisica nella scuola e nella formazione degli insegnanti, Milano, Ghisetti Corvi, pp. 257-261.

Presto gli studenti si sono resi conto che la domanda sull’esistenza di un triangolo rettangolo è collegata alla seguente domanda:

Intersecando due piani perpendicolari con un terzo piano si ottiene sempre un angolo retto?

La maggior parte degli studenti in un primo momento propendeva per la risposta affermativa.

Gli esperimenti svolti mostrano che il solo uso di diagrammi prodotti con Cabri 3D non aiuta a rispondere correttamente a numerosi problemi di geometria euclidea e, a differenza di quello che si osserva con Cabri-Géomètre, è necessario affiancare all’uso del software la disponibilità di modelli concreti per stimolare la formazione delle corrette immagini figurali degli oggetti tridimensionali.

Luca Piselli, lo studente in primo piano a sinistra nelle figure precedenti, è rimasto talmente coinvolto da questo tipo di domande da svolgere la sua tesi di Laurea su questo argomento:

• Piselli, L. (2005) Geometria euclidea dello spazio: nozioni di base e percorsi didattici, Tesi di Laurea triennale in Matematica, Università Roma 3 (relatore G.Accascina) (6)

In esso Piselli ha tra l’altro presentato un percorso didattico per studenti di scuola secondaria superiore nel quale si indagano gli angoli che si possono ottenere sezionando un diedro con un piano.
A questo problema è dedicato anche l’articolo:

• Bernardi, C. (2006) Un problema da discutere. Sezioni piane di un angolo diedro Archimede, anno LVIII/1, pp. 38-41

Nel percorso di Piselli, prima si studiano le configurazioni geometriche con l’ausilio di semplici strumenti e modelli tridimensionali e poi si concettualizzano le immagini formate in questa prima attività con l’uso di Cabri 3D.

Usando una squadra, si fa osservare che intersecando un diedro retto con un piano si ottengono non solo angoli retti.

Fig. 7 e 8: Uso della squadra. Non si ottengono solo angoli retti

Sostituendo poi la squadra con due listelli snodabili, ci si rende che si può ottenere un qualsiasi angolo.

Fig. 9 e 10: Uso di listelli. Si ottengono angoli qualsiasi

Ci si rende anche conto che si può determinare il piano secante scegliendo tre punti: il punto O sulla retta di intersezione dei due piani perpendicolari, il punto A su uno dei due piani, quello verde, che chiamiamo alfa, e il punto B sul piano rosso, che chiamiamo beta, perpendicolare al piano alfa.

Capito tutto ciò, si è ora in grado di costruire un diagramma con Cabri 3D che mostra come, fissato un qualsiasi angolo, esiste un piano, il piano blu che chiamiamo gamma, che interseca i piani alfa e beta nell’angolo fissato.

Fig. 11: Diagramma con Cabri 3D. Le intersezioni di due piani perpendicolari con un piano

Nel diagramma precedente si muove il piano gamma muovendo i punti A e B sulle circonferenze gialle crf1 e crf2 .

Si è anche in grado di generalizzare tutto ciò al caso in cui i piani alfa e beta non siano più perpendicolari e di costruirne il diagramma con cabri 3D. Si muove il piano alfa muovendo il punto P sulla terza circonferenza gialla.

Fig. 12: Diagramma con Cabri 3D. Le intersezioni di due piani non necessariamente perpendicolari con un piano

Abbiamo in definitiva mostrato alcuni esempi in cui il solo uso di modellini o il solo uso di diagrammi, sia pur digitali, può non essere efficace per l’apprendimento della geometria dello spazio e un esempio in cui l’uso integrato di modelli e di diagrammi digitali può aiutare nella comprensione di argomenti altrimenti non facili o poco intuitivi.
Lavoro svolto nell’ambito del:
• Progetto di Ricerca di Interesse Nazionale Significati, congetture, dimostrazioni: dalle ricerche di base in didattica della matematica alle implicazioni curricolari (Coordinatore scientifico: Maria G. Bartolini Bussi)
PRIN – COFIN 2005 (prot. 2005019721) (7)

Note

(1) http://ermeweb.free.fr/CERME3/Groups/TG7/TG7_Bako_cerme3.pdf
(2) http://130.79.4.117:8080/Record.htm?idlist=1&record=19498083124912162659
(3) Con il termine “diagramma” intendiamo un disegno su un foglio di carta o sullo schermo di un computer (diagramma digitale) rappresentante oggetti e relazioni tra di essi.
(4) Bainville, E.e Laborde, J.M. (2004) Cabri 3D, v.1.0.3 Cabrilog, http://www.cabri.com
(5) I file in formato Cabri 3D sono disponibili all’indirizzo web http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Pubblicazioni/2008_Software_di_Geometria_
Dinamica_3D-Files/
e possono essere visualizzati con un versione DEMO di Cabri 3D scaricabile gratuitamente all’indirizzo web http://www.cabri.com
(6) http://www.dmmm.uniroma1.it/~accascina/Tesi_di_Laurea/2005-Piselli-Geometria_euclidea_dello_spazio/
(7) http://www.didmatcofin05.unimore.it/on-line/Home.html


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