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Insegnare matematica con una piattaforma di e-learning

15 dicembre 2009 | Piergiorgio Cemin, Docente di matematica presso il Liceo Scientifico Torricelli di Bolzano e componente del gruppo Fuss per il supporto didattico e tecnico alle tecnologie della comunicazione e dell'informazione presso l'Intendenza Scolastica in lingua italiana della Provincia di Bolzano.

Premessa
Da diversi anni ho cominciato ad introdurre nella mia didattica della matematica le nuove tecnologie per sviluppare alcune competenze che sono obiettivo dei Programmi Ministeriali.

I mediatori tecnologici che ho utilizzato in passato sono stati:

1. l’utilizzo di un foglio elettronico per imparare a generalizzare un problema e per simulare fenomeni fisici e probabilistici;
2. l’utilizzo di un programma di geometria dinamica per costruire concetti geometrici e teoremi, analizzare elementi varianti e invarianti;
3. Il Logo come linguaggio di programmazione, per  acquisire capacità di problem solving attraverso la scomposizione di un problema in sottoproblemi e per la sua immediatezza nel mostrare graficamente l’esito dei processi implementati;
4. l’utilizzo della posta elettronica per favorire la comunicazione tra me e gli studenti.

I limiti ai quali mi sono trovato di fronte sono essenzialmente questi:
1) La correzione e l’analisi degli errori: per esempio, la stampa di un lavoro svolto con un foglio elettronico non può dare indicazione valide né sul livello di generalizzazione del modello presentato, nel caso in cui i risultati siano corretti, né sul tipo di errore (e sulla sua logica) nel caso di risultati scorretti.
2) L’impossibilità di obbligare gli studenti a lavorare con programmi proprietari come Logo, perché ciò comporta o l’istigazione alla copia pirata o l’obbligo di acquisto.
3) L’uso della posta elettronica, pur molto utile inizialmente per creare un rapporto favorevole tra me ed alcuni studenti, è risultato però per me molto dispendioso in termini di tempo, non avendo strumenti automatici di salvataggio dei singoli elaborati allegati e di memorizzazione dei tempi di consegna. Inoltre questo strumento non favorisce una comunicazione di tipo reticolare per la discussione di problemi e difficoltà, essendo complessa l’eventuale attività di monitoraggio dei singoli problemi.
Tali limiti hanno reso il lavoro in aula di informatica un “optional”, con scarse possibilità di rafforzare le competenze obiettivi dello stesso, pur suscitando sicuramente interesse nella maggioranza degli studenti.
Queste considerazioni mi hanno portato a progettare un’esperienza di lavoro in piattaforma di e-learning come supporto al lavoro scolastico con la classe.
L’esperienza, che è oggetto di questo  articolo, si è svolta in una terza classe del Liceo Scientifico Torricelli di Bolzano. Ho conosciuto gli studenti di questa classe all’inizio dello scorso anno scolastico 2008/2009, diventando il loro docente di matematica, e ho condotto con essi una sperimentazione di integrazione del lavoro svolto in presenza creando  una classe virtuale all’interno di una piattaforma di e-learning.
L’avvio del progetto è stato preceduto da un’analisi di fattibilità, condotta nella prima settimana di lezione. In questa fase di prima conoscenza reciproca ho spiegato la mia proposta, richiedendo quindi agli studenti il possesso di un PC e di una linea veloce per la connessione ad Internet, ritenendo che queste fossero condizioni necessarie per avviare la sperimentazione. Nella classe tutti gli studenti avevano un computer su cui poter lavorare, mentre due studenti non possedevano una linea veloce, ma hanno dichiarato che i loro genitori erano disposti a fare un contratto per una linea ADSL.
Verificata la disponibilità della classe e la fattibilità del progetto, ho individuato gli strumenti tecnici necessari per il progetto stesso. Il criterio principale che ho seguito è stata la scelta di software libero e multipiattaforma, in modo che gli studenti non fossero vincolati all’utilizzo di un sistema operativo specifico. Ricordo, a tale proposito, che nelle scuole in lingua italiana della provincia di Bolzano c’è stato il passaggio al software libero e su tutti i computer delle scuole è stata  installata la distribuzione FUSS (Free Upgrade in Sudtirol Schools), fondata su Ubuntu con sistema operativo Linux.

Esigenze ed obiettivi
L’“imprinting” generalmente acquisito dagli studenti in matematica nel loro percorso di studi è quello di persone che vengono giudicate in base al risultato. “E’ giusto o è sbagliato quello che sto facendo?”. Innumerevoli sono gli studenti “volenterosi” che eseguono una espressione diverse volte fino a quando il risultato è giusto. L’esigenza fondamentale che sta alla base della mia esperienza è quella di spostare l’attenzione dall’esattezza del risultato al metodo seguito e alla capacità di comunicare e discutere dello stesso. Si tratta insomma, per l’insegnante, di poter stimolare, coordinare e supervisionare dei processi che non siano ristretti a gruppi amicali (con conseguente rischio di rafforzamento di sottogruppi all’interno del gruppo classe), ma che possano coinvolgere l’intera classe.
Ecco allora che il processo di studio-manipolazione degli oggetti matematici dovrebbe liberare lo studente dall’angoscia e dalla dipendenza create dalla domanda “E’ giusto o sbagliato?”, facendo porre l’attenzione sull’analisi degli aspetti procedurali e metodologici utilizzati, e sui possibili strumenti disponibili per verificare i risultati ottenuti. Sono questi gli aspetti che devono diventare, un poco alla volta, non solo elementi di valutazione da parte dell’insegnante, ma soprattutto di autovalutazione da parte dello studente stesso.
Qui di seguito sono sintetizzate le domande chiave che dovrebbero essere orizzonte e continuo elemento di verifica e autoverifica, in un processo che educhi a un pensare permeato dalla curiosità e dal fascino della ricerca:
- Di fronte a un problema, quali strumenti e quali metodi ho a disposizione per proporne una soluzione?
- Che strumenti ho per verificare la correttezza di un procedimento e dei calcoli?
- Esprimo con chiarezza le mie difficoltà o i miei dubbi?

In quest’ottica ho individuato i seguenti obiettivi educativi:
1. saper ascoltare gli altri, nel senso di non contrapporre il proprio pensiero a quello altrui in quanto giusto o sbagliato, ma di cercare di individuare in un processo risolutivo proposto da un compagno gli elementi critici e fallaci, oppure i passaggi che non si sono compresi;
2. saper esprimere il proprio pensiero coerentemente al problema trattato;
3. saper condividere con gli altri le proprie conoscenze e le proprie scoperte, intervenendo collettivamente in aiuto di compagni in difficoltà;
4. saper superare la paura di affrontare problemi, anzi trovarne stimolo, sapendo che può diventare occasione di confronto e di rafforzamento di reciproca stima coi compagni;
5. sviluppare capacità collaborative tra gli studenti, attraverso la condivisione delle difficoltà nel risolvere un problema.

E’ chiaro che per intraprendere un processo in questi termini non è sufficiente, a mio parere, il tempo delle lezioni scolastiche, ma lo studente deve essere coinvolto in tale prassi anche nel modo di studiare-sperimentare matematica a casa. In questo senso ho ritenuto importante cercare di integrare nella didattica strumenti tecnologici che favoriscano l’interazione all’interno del gruppo classe anche a distanza. Da qui la scelta di sperimentare l’integrazione dell’insegnamento in presenza con una piattaforma di e-learning.

Gli obiettivi formativi che ho quindi individuato in questo tipo di percorso sono:
- saper studiare e affrontare i problemi proposti con continuità e non all’ultimo momento (necessario perché lo studio della matematica non diventi un’acquisizione di meccanismi risolutivi memorizzati a breve termine e perché l’interazione a distanza sia proficua);
- saper applicare varie strategie di problem solving, attraverso l’uso di schemi e di metodi risolutivi elaborati collettivamente;
- imparare ad esprimere con precisione un punto di difficoltà;
- imparare a sintetizzare in punti il procedimento seguito;
- essere in grado di sintetizzare le conoscenze acquisite e le metodologie risolutive acquisite, anche con le risorse del Web 2.0;
- essere in grado di ricercare velocemente un concetto già visto e dimenticato;
- saper interpretare geometricamente i procedimenti e le soluzioni algebriche di un problema e viceversa;
- saper enucleare i dati e le relazioni fondamentali che sono esplicitamente o implicitamente  espressi in un problema in modo da elaborarne modelli e processi risolutivi generali.

Strumenti e attività
A supporto delle attività svolte nell’ambito della mia programmazione disciplinare abbiamo utilizzato i seguenti programmi multipiattaforma:
- un foglio elettronico (Calc di OpenOffice.org), per la simulazione di fenomeni casuali (probabilità) e fisici oppure per la rappresentazione e la generalizzazione di funzioni;
- Geogebra, un programma di geometria dinamica, che abbiamo usato per la costruzione dinamica dei concetti, delle proprietà e dei teoremi studiati in geometria piana.

Il criterio di scelta degli strumenti è stato dettato dal bisogno di “costruire” il più possibile gli oggetti di conoscenza.  Premetto subito che l’uso del foglio elettronico è limitativo per alcuni aspetti trattati. Sicuramente l’andamento di una funzione può essere visto con l’ausilio di strumenti più comodi e potenti, con i quali però l’intervento manipolatore e costruttivo degli studenti è nullo. Ho quindi evitato di usare programmi che definisco “scatole nere”, certamente belli e potenti, ma che non abituano, a mio parere, gli studenti a coinvolgersi in un problema.

Gli strumenti utilizzati invece per la condivisione di lavori, difficoltà e idee nell’interazione a  distanza sono stati:
- un LMS (Moodle), che continuerò a chiamare genericamente piattaforma di e-learning;
- un Wiki installato all’interno dello spazio WEB della scuola, dove sintetizzare conoscenze, metodi e procedimenti studiati.

Il lavoro integrato si è svolto particolarmente in quattro  ambiti specifici della disciplina:
- La rappresentazione di funzioni e la risoluzione grafica di equazioni.
- L’introduzione al concetto di probabilità attraverso la modellizzazione e la simulazione di esperimenti casuali.
- Lo studio di proprietà e teoremi della geometria piana attraverso la loro costruzione dinamica.
- Un’esperienza di matematica sperimentale nell’ambito della teoria dei grafi.

In ciascuna delle attività svolte ho utilizzato strumenti che sono a disposizione con la piattaforma Moodle:
- pagine HTML o testi per la descrizione del problema, per alcune indicazioni metodologiche, di concetti da rivedere o di strumenti da utilizzare;
- cartelle contenenti materiale di studio o di approfondimento;
- forum specifici per la discussione dei problemi e delle difficoltà;
- trasferimento di file per la consegna di lavori dati per compito da fare a casa.

Lo stesso strumento del trasferimento file è stato da me utilizzato per la consegna della parte “tecnologica” di compiti di verifica integrati, dove al lavoro eseguito sul foglio di  protocollo si associava una prova al calcolatore complementare e di verifica del lavoro scritto.

Risultati e valutazione
Ho predisposto un questionario di autovalutazione per gli studenti, che ho inviato loro con lo strumento Test, specificando che non c’era obbligo di risposta, ma evidenziando l’importanza di una loro collaborazione. Il questionario era formato da 25 items, come descrittori di cinque macroindicatori, che sono i seguenti:
- Capacità di lavoro autonomo
- Capacità di analisi
- Capacità di sintesi
- Capacità di collaborare
- Validità del lavoro in rete

Nella tabella di seguito proposta si elencano i descrittori più interessanti da un punto di vista del lavoro collaborativo e in rete.


Tab.1

L’autovalutazione degli studenti che hanno risposto (il 70% della classe) ha mostrato una buona correlazione con quella che è stata la mia valutazione riguardo ad essi.
Per quanto riguarda la mia valutazione finale degli studenti, il lavoro collaborativo nei termini sopra  descritti ha inciso per il 50% sul voto finale rispetto alle tradizionali prove di verifica (scritti e orali). Sicuramente questo è servito ad incoraggiare alcuni studenti che hanno mostrato difficoltà specialmente nelle prove scritte e in tempi medio-lunghi dovrebbe portare a risultati migliori anche in queste prove specifiche.
Per rafforzare negli studenti l’idea che la mia valutazione finale è fondata in buona parte sulla qualità del lavoro collaborativo, ho proposto a loro di mettersi nei “panni dell’insegnante”, tramite un altro questionario inviato in rete. In tale questionario essi dovevano dare un voto a se stessi e agli altri compagni per ciascuno di questi due aspetti:
- l’aspetto collaborativo, cioè l’impegno che il singolo ha messo nel partecipare attivamente, sia in classe che in piattaforma, alla risoluzione dei problemi, proponendo soluzioni, esprimendo dubbi e difficoltà, ecc.
- L’aspetto delle competenze, cioè quello che il singolo “sa fare” in matematica.

Il questionario, sempre assolutamente volontario e anticipato da un messaggio in forum che ne spiegava le motivazioni, elaborato e somministrato tramite  Google-docs, ha evidenziato due aspetti interessanti:
1. la risposta è stata velocissima da parte di metà classe, poi non ho avuto altre risposte;
2. è risultata una stretta correlazione con i voti da me proposti, se si esclude un ragazzo che ha valutato negativamente quasi tutta la classe e risulta male inserito in essa, con tendenza all’autoisolamento in diverse situazioni.
Elementi critici
La discussione di un problema in rete è apparsa a diversi studenti quasi una perdita di tempo: uno studente, per esempio, ha espresso chiaramente la sua difficoltà ad esplicitare per iscritto il punto critico di un ragionamento o di un procedimento in cui si blocca. In effetti, richiedendo in genere la scuola solo risultati nel brevissimo termine (compiti in classe e interrogazioni), non aiuta certo in questo processo, che credo però sia altamente educativo e formativo.
Sicuramente un’esperienza del genere ha bisogno di tempi lunghi per essere realmente incisiva  sugli apprendimenti, inoltre sarebbe opportuno che fosse condivisa da più insegnanti dello stesso consiglio di classe. Il fatto che non ci sia stata unità nel consiglio di classe  nel dare importanza  a questo tipo di processo a livello valutativo, non può certo aiutare la presa di coscienza che, nel tempo, il saper individuare ed esprimere bene una difficoltà, possa portare a risultati molto migliori nell’apprendimento della matematica e non solo.
Alcuni studenti hanno espresso il timore che questo tipo di metodologia di lavoro non aiuti in funzione dell’esame di maturità. In effetti la capacità di attenzione alla difficoltà dell’altro, il cercare di spiegarsi per iscritto, o la capacità di collaborare coi compagni sono estranee o quasi al processo valutativo dell’esame, e lo stesso vale per la capacità di utilizzare strumenti informatici nel ricercare e verificare soluzioni a determinati problemi matematici e scientifici.
Alcuni ragazzi si sono sentiti “controllati” nei tempi del loro studio a casa; esso viene parzialmente verificato attraverso l’apporto alla discussione, che può essere proficuo solo se fornito in tempo utile rispetto ai tempi di consegna.
In conclusione, sono convinto che un’esperienza di questo tipo debba nascere dalla condivisione di un chiaro patto formativo proposto dal consiglio di classe e accettato dai genitori e dagli studenti partecipanti, che metta in risalto, anche nell’esplicitazione dei criteri di valutazione, i valori e le competenze espressi in questo articolo.


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